实变函数笔记20250314
推论
∃A,B⊆R,A∩B=∅, s.t. m∗(A∪B)<m∗(A)+m∗(B)
Cantor-Lebesgue 函数

Cantor-Lebesgue 函数ϕ(x)为[0,1]→[0,1]的单调满射,注意到a.e. ϕ′(x)=0
ψ(x)=21(ϕ(x)+x) 为 [0,1]→[0,1] 的连续严格单调递增的双射函数,易知 ψ−1(x) 存在
命题
ψ(C)可测且m(ψ(C))=21
非 Borel 集可测集的存在性
已知 m(ψ(C))=21>0
由 Vitali 定理知∃ 不可测集 E⊂ψ(C)
考虑 ψ−1(E)⊂C
由 m(C)=0 推知 m(ψ−1(E))=0,即 ψ−1(E) 为零测集
故 ψ−1(E) 可测
命题
综上,有 Borel 集合B⊊ 可测集 M⊊2R
第三章 可测函数
可测函数定义
E可测(此条件后文默认),f:E→Rˉ:=R∪{−∞,+∞},则下述命题等价:
- ∀c∈R,{x∈E;f(x)>C}可测
- ∀c∈R,{x∈E;f(x)≥C}可测
- ∀c∈R,{x∈E;f(x)<C}可测
- ∀c∈R,{x∈E;f(x)≤C}可测
若上述命题成立,则将f称为(Lebesgue)可测
f 可测 ⇒∀c∈Rˉ, {x∈E; f(x)=c}可测
命题
f:E→R 可测 ⇒∀U⊆R为开集,f−1(U)可测
推论
-
连续函数均可测
-
设f:E→R可测,g:F→R连续,f⊇f(E),则有g∘f:E→R 可测
特别地,f可测→f1可测,∀p∈(0,+∞),∣f∣p可测
命题
- f 可测,a.e. g=f,则g可测
- 设E=E1∪E2,则f可测⇔f∣E1,f∣E2均可测
注意
f处处有限 =f有界
命题
设定义域相同的两函数f,g均可测且a.e. 有限
- ∀α,β∈R, αf+βg可测
- f(x)g(x) 可测
命题
{fi}i=1n可测,则有max{f1,…,fn},min{f1,…,fn}均可测
定义f+:=max{f,0};f−:=max{−f,0};
则有
- f+−f−a
- f可测⇔f+,f−均可测
- ∣f∣=f++f−;f可测⇒∣f∣可测
命题
{fi}i=1∞ 可测,则supfi,inffi,limsupfi,liminffi均可测
命题
{fi}i=1∞ 可测,fi几乎处处收敛为f(fi→f a.e.)则 f 可测
几乎处处收敛:在除去一个零测集上点点收敛