实变函数笔记20250314

推论

A,BR,AB=, s.t. m(AB)<m(A)+m(B)\exist A,B\subseteq \R, A\cap B=\emptyset,\ s.t.\ m^*(A\cup B)<m^*(A)+m^*(B)

Cantor-Lebesgue 函数

Cantor-Lebesgue

Cantor-Lebesgue 函数ϕ(x)\phi(x)[0,1][0,1][0,1]\rightarrow[0,1]的单调满射,注意到a.e. ϕ(x)=0a.e.\ \phi'(x)=0

ψ(x)=12(ϕ(x)+x)\psi(x)=\frac{1}{2}(\phi(x)+x)[0,1][0,1][0,1]\rightarrow[0,1] 的连续严格单调递增的双射函数,易知 ψ1(x)\psi^{-1}(x) 存在

命题

ψ(C)\psi(\mathcal C)可测且m(ψ(C))=12m(\psi(\mathcal C))=\frac{1}{2}

非 Borel 集可测集的存在性

已知 m(ψ(C))=12>0m(\psi(\mathcal C))=\frac{1}{2}>0
由 Vitali 定理知\exists 不可测集 Eψ(C)E\subset \psi(\mathcal C)
考虑 ψ1(E)C\psi^{-1}(E)\subset \mathcal C
m(C)=0m(\mathcal C)=0 推知 m(ψ1(E))=0m(\psi^{-1}(E))=0,即 ψ1(E)\psi^{-1}(E) 为零测集
ψ1(E)\psi^{-1}(E) 可测

命题

综上,有 Borel 集合B\mathcal B\subsetneq 可测集 M2R\mathcal M\subsetneq 2^\R


第三章 可测函数

可测函数定义

EE可测(此条件后文默认),f:ERˉ:=R{,+}f:E\rightarrow \bar\R:=\R\cup\{-\infty,+\infty\},则下述命题等价:

  1. cR,{xE;f(x)>C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)>C\}可测
  2. cR,{xE;f(x)C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)\geq C\}可测
  3. cR,{xE;f(x)<C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)<C\}可测
  4. cR,{xE;f(x)C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)\leq C\}可测

若上述命题成立,则将ff称为(Lebesgue)可测

ff 可测 cRˉ, {xE; f(x)=c}\Rightarrow\forall c\in\bar\R,\ \{x\in E;\ f(x)=c\}可测

命题

f:ERf:E\rightarrow R 可测 UR\Rightarrow \forall U\subseteq \R为开集,f1(U)f^{-1}(U)可测

推论

  1. 连续函数均可测

  2. f:ERf:E\rightarrow \R可测,g:FRg:F\rightarrow \R连续,ff(E)f\supseteq f(E),则有gf:ERg\circ f:E\rightarrow\R 可测

    特别地,ff可测1f\rightarrow \frac{1}{f}可测,p(0,+),fp\forall p\in (0,+\infty),|f|^p可测

命题

  1. ff 可测,a.e. g=fa.e.\ g=f,则gg可测
  2. E=E1E2E=E_1\cup E_2,则ff可测fE1,fE2\Leftrightarrow f|_{E_1},f|_{E_2}均可测

注意

ff处处有限 f\not=f有界

命题

设定义域相同的两函数f,gf,g均可测且a.e.a.e. 有限

  1. α,βR, αf+βg\forall \alpha,\beta\in\R,\ \alpha f+\beta g可测
  2. f(x)g(x)f(x)g(x) 可测

命题

{fi}i=1n\{f_i\}_{i=1}^n可测,则有max{f1,,fn},min{f1,,fn}\max\{f_1,\dots,f_n\},\min\{f_1,\dots,f_n\}均可测

定义f+:=max{f,0};f:=max{f,0};f^+:=\max\{f,0\};f^-:=\max\{-f,0\};
则有

  1. f+faf^+-f^-a
  2. ff可测f+,f\Leftrightarrow f^+,f^-均可测
  3. f=f++f|f|=f^++f^-ff可测f\Rightarrow |f|可测

命题

{fi}i=1\{f_i\}_{i=1}^{\infty} 可测,则supfi,inffi,lim supfi,lim inffi\sup f_i,\inf f_i,\limsup f_i,\liminf f_i均可测

命题

{fi}i=1\{f_i\}_{i=1}^{\infty} 可测,fif_i几乎处处收敛为fffif a.e.f_i\rightarrow f\ a.e.)则 ff 可测

几乎处处收敛:在除去一个零测集上点点收敛