实变函数笔记20250314

推论

∃A,B⊆R,A∩B=∅, s.t. m∗(A∪B)<m∗(A)+m∗(B)\exist A,B\subseteq \R, A\cap B=\emptyset,\ s.t.\ m^*(A\cup B)<m^*(A)+m^*(B)

Cantor-Lebesgue 函数

Cantor-Lebesgue

Cantor-Lebesgue 函数ϕ(x)\phi(x)为[0,1]→[0,1][0,1]\rightarrow[0,1]的单调满射，注意到a.e. ϕ′(x)=0a.e.\ \phi'(x)=0

ψ(x)=12(ϕ(x)+x)\psi(x)=\frac{1}{2}(\phi(x)+x) 为 [0,1]→[0,1][0,1]\rightarrow[0,1] 的连续严格单调递增的双射函数，易知 ψ−1(x)\psi^{-1}(x) 存在

命题

ψ(C)\psi(\mathcal C)可测且m(ψ(C))=12m(\psi(\mathcal C))=\frac{1}{2}

非 Borel 集可测集的存在性

已知 m(ψ(C))=12>0m(\psi(\mathcal C))=\frac{1}{2}>0
由 Vitali 定理知∃\exists 不可测集 E⊂ψ(C)E\subset \psi(\mathcal C)
考虑 ψ−1(E)⊂C\psi^{-1}(E)\subset \mathcal C
由 m(C)=0m(\mathcal C)=0 推知 m(ψ−1(E))=0m(\psi^{-1}(E))=0，即 ψ−1(E)\psi^{-1}(E) 为零测集
故 ψ−1(E)\psi^{-1}(E) 可测

命题

综上，有 Borel 集合B⊊\mathcal B\subsetneq 可测集 M⊊2R\mathcal M\subsetneq 2^\R

第三章 可测函数

可测函数定义

EE可测（此条件后文默认），f:E→Rˉ:=R∪{−∞,+∞}f:E\rightarrow \bar\R:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}，则下述命题等价：

  1. ∀c∈R,{x∈E;f(x)>C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)>C\}可测
  2. ∀c∈R,{x∈E;f(x)≥C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)\geq C\}可测
  3. ∀c∈R,{x∈E;f(x)<C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)<C\}可测
  4. ∀c∈R,{x∈E;f(x)≤C}\forall c\in\R,\{x\in E; f(x)\leq C\}可测

若上述命题成立，则将ff称为(Lebesgue)可测

ff 可测 ⇒∀c∈Rˉ, {x∈E; f(x)=c}\Rightarrow\forall c\in\bar\R,\ \{x\in E;\ f(x)=c\}可测

命题

f:E→Rf:E\rightarrow R 可测 ⇒∀U⊆R\Rightarrow \forall U\subseteq \R为开集，f−1(U)f^{-1}(U)可测

推论

  1. 连续函数均可测

  2. 设f:E→Rf:E\rightarrow \R可测，g:F→Rg:F\rightarrow \R连续，f⊇f(E)f\supseteq f(E)，则有g∘f:E→Rg\circ f:E\rightarrow\R 可测

    特别地，ff可测→1f\rightarrow \frac{1}{f}可测，∀p∈(0,+∞),∣f∣p\forall p\in (0,+\infty),|f|^p可测

命题

  1. ff 可测，a.e. g=fa.e.\ g=f，则gg可测
  2. 设E=E1∪E2E=E_1\cup E_2，则ff可测⇔f∣E1,f∣E2\Leftrightarrow f|_{E_1},f|_{E_2}均可测

注意

ff处处有限 ≠f\not=f有界

命题

设定义域相同的两函数f,gf,g均可测且a.e.a.e. 有限

  1. ∀α,β∈R, αf+βg\forall \alpha,\beta\in\R,\ \alpha f+\beta g可测
  2. f(x)g(x)f(x)g(x) 可测

命题

{fi}i=1n\{f_i\}_{i=1}^n可测，则有max⁡{f1,…,fn},min⁡{f1,…,fn}\max\{f_1,\dots,f_n\},\min\{f_1,\dots,f_n\}均可测

定义f+:=max⁡{f,0};f−:=max⁡{−f,0};f^+:=\max\{f,0\};f^-:=\max\{-f,0\};
则有

  1. f+−f−af^+-f^-a
  2. ff可测⇔f+,f−\Leftrightarrow f^+,f^-均可测
  3. ∣f∣=f++f−|f|=f^++f^-；ff可测⇒∣f∣\Rightarrow |f|可测

命题

{fi}i=1∞\{f_i\}_{i=1}^{\infty} 可测，则sup⁡fi,inf⁡fi,lim sup⁡fi,lim inf⁡fi\sup f_i,\inf f_i,\limsup f_i,\liminf f_i均可测

命题

{fi}i=1∞\{f_i\}_{i=1}^{\infty} 可测，fif_i几乎处处收敛为ff（fi→f a.e.f_i\rightarrow f\ a.e.）则 ff 可测

几乎处处收敛：在除去一个零测集上点点收敛